Значащие цифры

Определение 1 .6 . Значащими цифрами в записи при­ближенного числа называются все цифры в его записи, начиная с первой ненулевой слева.

Определение 1 .7 . Первые п верными в узком смысле , если абсолютная погрешность числа не превосхо­дит половины единицы разряда, соответствующего п- йзначащей цифре, считая слева направо.

Наряду с данным определением иногда используется другое.

Определение 1 .8 . Первые п значащих цифр в записи приближенного числа называются верными в широком смысле , если абсолютная погрешность числа не превосхо­дит единицы разряда, соответствующего n- йзначащей цифре.

Чтобы округлить число до п значащих цифр, отбрасы­вают все цифры, стоящие справа от n -й значащей цифры, или, если это нужно для сохранения разрядов, заменяют их нулями. При этом:

1) если первая отброшенная цифра меньше 5, то остав­шиеся десятичные знаки сохраняют без изменения;

2) если первая отброшенная цифра больше 5, то к пос­ледней оставшейся цифре прибавляют единицу;

3) если первая отброшенная цифра равна 5 и среди ос­тальных отброшенных цифр есть ненулевые, то к после­дней оставшейся цифре прибавляют единицу;

4) если первая из отброшенных цифр равна 5 и все от­брошенные цифры являются нулями, то последняя остав­шаяся цифра оставляется неизменной, если она четная, и увеличивается на единицу, если нет (правило четной цифры).

Это правило гарантирует, что сохраненные значащие цифры числа являются верными в узком смысле, т. е. погрешность округления не превосходит половины разряда, соответствующего последней оставленной значащей цифре. Правило четной цифры должно обеспечить ком­пенсацию знаков ошибок.

Следующая теорема выявляет связь относительной по­грешности числа с числом верных десятичных знаков.

Теорема 1 .1 . Если положительное приближенное чис­ло имеет п верных значащих цифр, то его относительная погрешность δ не превосходит величины 10 1 - n , деленной на первую значащую цифру а н :

δ ≤ 10 1 - n / а н . (1.11)

Формула (11) позволяет вычислить предельную от­носительную погрешность

δ a = 10 1 - n / а н . (1.12)

1 .6 . Погрешности арифметических операций

Приведем правила вычисления погрешности результа­та различных арифметических операций над приближен­ными числами.

Относительно алгебраической суммы u = х ± у можно утверждать следующее.

Теорема 1 .2 . Предельная абсолютная погрешность суммы приближенных чисел равна сумме предельных абсолютных погрешностей слагаемых, т. е.

Δ u = Δ x + Δ y . (1.13)

Из формулы (1.13) следует, что предельная абсолют­ная погрешность суммы не может быть меньше предель­ной абсолютной погрешности наименее точного из сла­гаемых , т. е. если в состав суммы входят приближенные слагаемые с разными абсолютными погрешностями, то сохранять лишние значащие цифры в более точных не имеет смысла.

Теорема 1 .3 . Если все слагаемые в сумме имеют один и тот же знак, то предельная относительная погрешность суммы не превышает наибольшей из предельных относи­тельных погрешностей слагаемых:

δ u ≤ . (1.14)

При вычислении разности двух приближенных чисел и = х - у её абсолютная погрешность, согласно теоре­ме 2, равна сумме абсолютных погрешностей уменьша­емого и вычитаемого, т. е. Δ u = Δ x + Δ y , а предельная относительная погрешность

δ u = .(1.15)

Из формулы (1.15) следует, что если приближенные значения х и у близки, то предельная относительная по­грешность будет очень большой.

В некоторых случаях удается избежать вычисления разности близких чисел с помощью преобразования выра­жения так, чтобы разность была исключена.

Если представляется сложным заменить вычитание близких приближенных чисел сложением, то следует поступать так: если известно, что при вычитании долж­но пропасть m первых значащих цифр, а в результате требуется сохранить п верных цифр, тогда в уменьшае­мом и вычитаемом следует сохранять m + п верных зна­чащих цифр .

Теорема 1 .4 . Предельная относительная погрешность произведения и = х× у приближенных чисел, отличных от пуля, равна сумме предельных относительных погрешно­стей сомножителей, т. е.

δ u = δ x + δ y . (1.16)

В частности, если и = kx, где k – точное число, имеем Δ u = |k| Δ x , δ и = δ х.

Теорема 1 .5 . Предельная относительная погрешность частного равна сумме предельных относительных по­грешностей делимого и делителя.

Числа округляют и до других разрядов - десятых, сотых, десятков, сотен и т. д.

Если число округляют до какого-нибудь разряда, то все следующие за этим разрядом цифры заменяют нулями, а если они стоят после запятой, то их отбрасывают.

Правило №1. Если первая из отбрасываемых цифр больше или равняется 5, то последняя из сохраняемых цифр усиливается, т. е. увеличивается на единицу.

Пример 1. Дано число 45,769, которое нужно округлить до десятых. Первая отбрасываемая цифра - 6 ˃ 5. Следовательно, последняя из сохраняемых цифр (7) усиливается, т. е. увеличивается на единицу. И, таким образом, округленное число будет - 45,8.

Пример 2. Дано число 5,165, которое нужно округлить до сотых. Первая отбрасываемая цифра – 5 = 5. Следовательно, последняя из сохраняемых цифр (6) усиливается, т. е. увеличивается на единицу. И, таким образом, округленное число будет - 5,17.

Правило №2. Если первая из отбрасываемых цифр меньше, чем 5, то усиление не делается.

Пример: Дано число 45,749, которое нужно округлить до десятых. Первая отбрасываемая цифра - 4

Правило №3. Если отбрасываемая цифра 5, а за ней нет значащих цифр, то округление производится на ближайшее четное число. Т. е. последняя цифра остается неизменной, если она четная и усиливается, если - нечетная.

Пример 1: Округляя число 0,0465 до третьего десятичного знака, пишем - 0,046. Усиления не делаем, т. к. последняя сохраняемая цифра (6) - четная.

Пример 2. Округляя число 0,0415 до третьего десятичного знака, пишем - 0,042. Усиления делаем, т. к. последняя сохраняемая цифра (1) - нечетная.

Округлять числа в жизни приходится чаще, чем кажется многим. Особенно это актуально для людей тех профессий, которые связаны с финансами. Этой процедуре люди, работающие в данной сфере, обучены хорошо. Но и в повседневной жизни процесс приведения значений к целому виду не редкость. Многие люди благополучно забыли, как округлять числа, сразу же после школьной скамьи. Напомним основные моменты этого действия.

Вконтакте

Круглое число

Перед тем как перейти к правилам округления значений, стоит разобраться, что представляет собой круглое число . Если речь идет о целых, то оно обязательно заканчивается нулем.

На вопрос, где в повседневной жизни пригодиться такое умение, можно смело ответить – при элементарных походах по магазинам.

С помощью правила приблизительного подсчета можно прикинуть, сколько будут стоить покупки и какую сумму необходимо взять с собой.

Именно с круглыми числами легче выполнять подсчеты, не используя при этом калькулятор.

К примеру, если в супермаркете или на рынке покупают овощи весом 2 кг 750 г, то в простом разговоре с собеседником зачастую не называют точный вес, а говорят, что приобрели 3 кг овощей. При определении расстояния между населенными пунктами также применяют слово «около». Это и значит приведение результата к удобному виду.

Следует отметить, что при некоторых подсчетах в математике и решении задач также не всегда используются точные значения. Особенно это актуально в тех случаях, когда в ответе получают бесконечную периодическую дробь . Приведем несколько примеров, когда используются приближенные значения:

• некоторые значения постоянных величин представляются в округленном виде (число «пи» и прочее);
• табличные значения синуса, косинуса, тангенса, котангенса, которые округлены до определенного разряда.

Обратите внимание! Как показывает практика, приближение значений к целому, конечно, дает погрешность, но сосем незначительную. Чем выше разряд, тем точнее будет результат.

Получение приближенных значений

Это математическое действие осуществляется по определенным правилам.

Но для каждого множества чисел они разные. Отмечают, что округлить можно целые числа и десятичные .

А вот с обыкновенными дробями действие не выполняется.

Сначала их необходимо перевести в десятичные дроби , а затем приступить к процедуре в необходимом контексте.

Правила приближения значений заключаются в следующем:

• для целых – замена разрядов, следующих за округляемым, нулями;
• для десятичных дробей – отбрасывания всех чисел, которые находятся за округляемым разрядом.

К примеру, округляя 303 434 до тысяч, необходимо заменить сотни, десятки и единицы нулями, то есть 303 000. В десятичных дробях 3,3333 округляя до десяты х, просто отбрасывают все последующие цифры и получают результат 3,3.

Точные правила округления чисел

При округлении десятичных дробей недостаточно просто отбросить цифры после округляемого разряда . Убедиться в этом можно на таком примере. Если в магазине куплено 2 кг 150 г конфет, то говорят, что приобретено около 2 кг сладостей. Если же вес составляет 2 кг 850 г, то производят округление в большую сторону, то есть около 3 кг. То есть видно, что иногда округляемый разряд изменен. Когда и как это проделывают, смогут ответить точные правила:

1. Если после округляемого разряда следует цифра 0, 1, 2, 3 или 4, то округляемый оставляют неизменным, а все последующие цифры отбрасываются.
2. Если после округляемого разряда следует цифра 5, 6, 7, 8 или 9, то округляемый увеличивают на единицу, а все последующие цифры также отбрасываются.

К примеру, как правильно дробь 7,41 приблизить к единицам . Определяют цифру, которая следует за разрядом. В данном случае это 4. Следовательно, согласно правилу, число 7 оставляют неизменным, а цифры 4 и 1 отбрасывают. То есть получаем 7.

Если округляется дробь 7,62, то после единиц следует цифра 6. Согласно правилу, 7 необходимо увеличить на 1, а цифры 6 и 2 отбросить. То есть в результате получится 8.

Представленные примеры показывают, как округлить десятичные дроби до единиц.

Приближение до целых

Отмечено, что округлять до единиц можно точно так же, как и до целых. Принцип один и тот же. Остановимся подробнее на округлении десятичных дробей до определенного разряда в целой части дроби. Представим пример приближения 756,247 до десятков. В разряде десятых располагается цифра 5. После округляемого разряда следует цифра 6. Следовательно, по правилам необходимо выполнить следующие шаги :

• округление в большую сторону десятков на единицу;
• в разряде единиц цифру 6 заменяют ;
• цифры в дробной части числа отбрасываются;
• в результате получают 760.

Обратим внимание на некоторые значения, в которых процесс математического округления до целых по правилам не отображает объективную картину. Если взять дробь 8,499, то, преобразовывая его по правилу, получаем 8.

Но по сути это не совсем так. Если поразрядно округлить до целых, то вначале получим 8,5, а затем отбрасываем 5 после запятой, и осуществляем округление в большую сторону.

Получаем 9, что, в принципе, не сосем точно. То есть в таких значениях погрешность существенна . Поэтому оцениваем задачу и, если ситуация позволяет, то лучше использовать значение 8,5.

Приближение до десятых

Как округлить до десятых, до сотых, до тысячных? Операция осуществляется по таким же правилам, как и до целых. Основная задача – правильно определить округляемый разряд и знак, который следует за ним.

К примеру, дробь 6,7864 при доведении:

• до десятых становится равной 6,8;
• до сотых – 6,79;
• если округлить до тысячных, то получают 6,786.

Обратите внимание! Незнание этих правил очень удачно используют маркетологи. В магазинах, наблюдая ценник с указанием числа 5,99, большинством покупателей воспринимается цена, равная 5. В действительности же цена товара практически 6.

Математика — учимся округлять числа

Правила округления чисел до десятых

Вывод

Приоритетов умения выполнять такие математические операции можно привести ещё достаточно много. Важно научиться правильно оценивать ситуацию, задаться целью, и результат придет незамедлительно.

Настоящий стандарт СЭВ устанавливает правила записи и округления чисел, выраженных в десятичной системе счисления.

Правила записи и округления чисел, установленные в настоящем стандарте СЭВ, предназначены для применения в нормативно-технической, конструкторской и технологической документации.

Настоящий стандарт СЭВ не распространяется на специальные правила округления, установленные в других стандартах СЭВ.

1. ПРАВИЛА ЗАПИСИ ЧИСЕЛ

1.1. Значащие цифры данного числа - это все цифры от первой слева, не равной нулю, до последней записанной цифры справа. При этом нули, следующие из множителя 10 n , не учитываются.

1.2. Когда необходимо указать, что число является точным, после числа должно быть указано слово «точно» или же последняя значащая цифра печатается жирным шрифтом

Пример. В печатном тексте:

1 кВт·ч = 3 600 000 Дж (точно), или = 3600000 Дж

1.3. Следует различать записи приближенных чисел по количеству значащих цифр.

Примеры:

1. Следует различать числа 2,4 и 2,40. Запись 2,4 означает, что верны только цифры целых и десятых; истинное значение числа может быть например 2,43 и 2,38. Запись 2,40 означает, что верны и сотые доли числа; истинное число может быть 2,403 и 2,398, но не 2,421 и не 2,382.

2. Запись 382 означает, что все цифры верны; если за последнюю цифру ручаться нельзя, то число должно быть записано 3,8·10 2 .

3. Если в числе 4720 верны лишь две первые цифры оно должно быть записано 47·10 2 или 4,7·10 3 .

1.4. Число, для которого указывается допускаемое отклонение, должно иметь последнюю значащую цифру того же разряда как и последняя значащая цифра отклонения.

Примеры:

1.5. Числовые значения величины и ее погрешности (отклонения) целесообразно записывать с указанием одной и той же единицы физических величин.

Пример. 80,555±0,002 кг

1.6. Интервалы между числовыми значениями величин следует записывать:

От 60 до 100 или от 60 до 100

Свыше 100 до 120 или свыше 100 до 120

Свыше 120 до 150 или свыше 120 до 150.

1.7. Числовые значения величин должны указываться в стандартах с одинаковым числомразрядов, которое необходимо для обеспечения требуемых эксплуатационных свойств и качества продукции. Запись числовых значений величин до первого, второго, третьего и т. д. десятичного знака для различных типоразмеров, видов марок продукции одного названия, как правило, должна быть одинаковой. Например, если градация толщины стальной горячекатаной ленты 0,25 мм, то весь ряд толщин ленты должен быть указан с точностью до второго десятичного знака.

В зависимости от технической характеристики и назначения продукции количество десятичных знаков числовых значений величин одного и того же параметра, размера, показателя или нормы может иметь несколько ступеней (групп) и должно быть одинаковым только внутри этой ступени (группы).

2. ПРАВИЛА ОКРУГЛЕНИЯ

2.1. Округление числа представляет собой отбрасывание значащих цифр справа до определенного разряда с возможным изменением цифры этого разряда.

Пример. Округление числа 132,48 до четырех значащих цифр будет 132,5.

2.2. В случае, если первая из отбрасываемых цифр (считая слева направо) меньше 5, то последняя сохраняемая цифра не меняется.

Пример. Округление числа 12,23 до трех значащих цифр дает 12,2.

2.3. В случае, если первая из отбрасываемых цифр (считая слева направо) равна 5, то последняя сохраняемая цифра увеличивается на единицу.

Пример. Округление числа 0,145 до двух значащих цифр дает 0,15.

Примечание. В тех случаях, когда следует учитывать результаты предыдущих округлений, следует поступать следующим образом:

1) если отбрасываемая цифра получилась в результате предыдущего округления в большую сторону, то последняя сохраняемая цифра сохраняется;

Пример. Округление до одной значащей цифры числа 0,15 (полученного после округления числа 0,149) дает 0,1.

2) если отбрасываемая цифра получилась в результате предыдущего округления в меньшую сторону, то последняя оставшаяся цифра увеличивается на единицу (с переходом при необходимости в следующие разряды).

Пример. Округление числа 0,25 (полученного в результате предыдущего округления числа 0,252) дает 0,3.

2.4. В случае, если первая из отбрасываемых цифр (считая слева направо) больше 5, то последняя сохраняемая цифра увеличивается на единицу.

Пример. Округление числа 0,156 до двух значащих цифр дает 0,16.

2.5. Округление следует выполнять сразу до желаемого количества значащих цифр, а не по этапам.

Пример. Округление числа 565,46 до трех значащих цифр производится непосредственно на 565. Округление по этапам привело бы к:

565,46 в I этапе - к 565,5,

а во II этапе - 566 (ошибочно).

2.6. Целые числа округляют по тем же правилам, как и дробные.

Пример. Округление числа 12 456 до двух значащих цифр дает 12·10 3 .

Тема 01.693.04-75.

3. Стандарт СЭВ утвержден на 41-м заседании ПКС.

4. Сроки начала применения стандарта СЭВ:

5. Срок первой проверки - 1981 г., периодичность проверки - 5 лет.

НП «СРОО «Экспертный совет» публикует очередные методические рекомендации. Документ доступен в формате word и pdf (с подписями и печатями).

Выражаем благодарность коллегам, принявшим участие в обсуждении проблематики округления.

Другие методические материалы Партнерства доступны по ссылке.

МЕТОДИЧЕСКИЕ РАЗЪЯСНЕНИЯ

по вопросу округления итоговой величины стоимости объекта оценки

1. Пунктом 14 Федерального стандарта оценки «Требования к отчету об оценке (ФСО № 3)», утвержденного приказом Минэкономразвития России от 20.05.2015 г. № 299, установлено, что «итоговая величина стоимости может быть представлена в виде конкретного числа с округлением по математическим правилам округления …». Таким образом, Оценщик самостоятельно принимает решение о целесообразности округления итоговой величины стоимости объекта оценки.

2. Партнерство считает целесообразным округлять итоговую величину стоимости объекта оценки по следующим основным причинам:

• статьей 3 Федерального закона «Об оценочной деятельности в Российской Федерации» от 29.07.1998 г. № 135-ФЗ установлено, что рыночная стоимость является наиболее вероятной ценой сделки — имеет вероятностный характер ;
• сложившиеся правила делового оборота на рынке показывают, что и цены предложения, и цены продажи в абсолютном большинстве случаев тяготеют к округленным значениям;
• любой результат расчета стоимости характеризуется погрешностью, величина которой определяется влиянием погрешности исходных данных; погрешности методов расчета; субъективной погрешностью, вносимой Оценщиком ;
• указание итоговой величины стоимости объекта оценки без округления способно ввести в заблуждение пользователя соответствующего отчета об оценке относительно точности результатов оценки.

3. Решение об уровне округления (до какого знака округлять) следует принимать на основе анализа границ интервала, в котором лежит рыночная стоимость объекта оценки. Уровень округления следует выбирать так, чтобы погрешность, вносимая округлением, была меньше погрешности, вносимой прочими факторами.

В большинстве ситуаций итоговую величину рыночной стоимости рекомендуется округлять «к ближайшему целому» до трех значащих цифр (127 329 ® 127 000, см. п. 7). В этом случае максимальная погрешность, вносимая округлением, составит 0,5% от величины до округления.

4. Применительно к оценке акций, а также иных эмиссионных ценных бумаг, конвертируемых в акции публичного общества, в случаях обязательного предложения о приобретении акций у остальных акционеров целесообразно учитывать соответствующую судебную практику, в которой отражена позиция о порядке округления до целого числа .

5. Необходимость округления итоговой величины стоимости объекта оценки, а также уровень округления могут быть закреплены в задании на оценку, являющимся приложением к договору на оказание услуг по оценке.

6. Справочно. Наибольшее распространение получило округление по правилу «к ближайшему целому»:

• если N+1 цифра в округляемом числе < 5, то N-ую цифру сохраняют, а N+1 и все последующие — обнуляют (154 ® 150);
• если N+1 цифра в округляемом числе ≥ 5, то N-ую цифру увеличивают на единицу, а N+1 и все последующие — обнуляют (155 ® 160).

Список источников:

1. Определение Верховного Суда Российской Федерации от 22.12.2015 г. № 310-ЭС15-11302 по делу А09-6803/2014.
2. Ильин М.О., Лебединский В.И. Практические рекомендации по определению возможных границ интервала итоговой стоимости
3. Постановление ФАС Московского округа от 04.05.2012 г. по делу № А40-81355/11-21-698.